球冠（きゅうかん）自動計算ツールについて
球を平らな面で切り取ったときにできる「ドーム型の立体」、それが球冠です。
このツールは球冠の体積・表面積・各寸法を自動で計算してくれます。
数式を手で解く必要はなく、数値を入力するだけで結果がすぐ画面に表示されます 。
球冠って何？
球を1枚の平面で切り取ったとき、その「帽子状の部分」が球冠です 。形としてはスポーツドームの屋根や、水を少しだけ入れた球形タンクの液面上部に近いイメージです。
このツールが扱う主な寸法は3つです。
球の半径 R は元の完全な球の中心から表面までの距離
高さ h は球冠の一番頂点から底面までの垂直距離
底面半径 r は切り口の円の半径のことです 。
計算モードの選び方
ツール上部のドロップダウンメニューから手元にある数値に合わせてモードを選んでください。
「球の半径 R と高さ h から（順算）」
最も基本的なモードでR と h の2つがわかっていれば、体積・表面積・底面半径がまとめて求められます 。
「底面半径 r と高さ h から」
切り口の円の半径と高さがわかっているときに使います。
このモードではまず球の半径 R を逆算してから全値を導き出します。計算式は \(R = \dfrac{r^2 + h^2}{2h}\) です 。
「体積 V と球の半径 R から」
体積と元の球の半径から高さ h を逆算します。
三次方程式を数値的に解く処理が内部で走るため、少し特殊なモードです。
「体積 V と高さ h から」
体積と高さの組み合わせから球の半径 R を求めたいときに
「球面積 S₁ と球の半径 R から」
曲面部分の面積から高さ h を逆算します。式は \(h = \dfrac{S_1}{2\pi R}\) です
「全表面積 S と球の半径 R から」
曲面と底面を合わせた全体の表面積と球の半径がわかっているときに高さ h を求めるモードです。
数値の入力
モードを選ぶと対応する入力欄が2つ表示されます。
それぞれに正の数値を入力するだけで、自動的に計算が走ります。ボタンを押す必要はありません。
入力値に問題がある場合（高さ h が直径 2R を超えている場合など）は画面に赤いエラーメッセージが表示されます。その場合は値を見直してみてください。
単位とπモード
単位の選択
「なし・mm・cm・m」から選べます。選んだ単位が、結果の数値の横にそのまま表示されます。面積は単位の2乗、体積は3乗として扱われます。
πモード
オンにすると結果が「○π」の形式で表示されるようになります。
たとえば体積が「12π cm³」のように出るので、数学の答案を書くときや設計値の確認に重宝します。πモードをオフにすると、3.14159…を掛けた通常の小数表示に切り替わります。
結果の見方
計算結果は色分けされたカードで表示されます。
青いカードが 体積 V で最も大きく表示されます。式は \(V = \dfrac{\pi h^2 (3R - h)}{3}\) です 。
緑のカードには3種類の面積が並んでいます。
球面積 S₁ は曲面のみの面積 \(S_1 = 2\pi Rh\)
底面積 A は切り口の円の面積 \(A = \pi r^2\)
全表面積 S はその合計 \(S = \pi h(4R - h)\) です 。
紫のカードには球の半径 R・底面半径 r・高さ h の3つの寸法が表示されます。
逆算モードを使ったときはここで導き出された値を確認できます。
一番下の 逆算結果カード にはどの値をどんな入力から求めたかがひとことで表示されます。
図解と計算式の表示
入力値が正しく揃うと画面下部に球冠の断面図が自動で描画されます。
R・h・r の各寸法がどこに相当するかを視覚的に確認できるので、入力ミスを防ぐのにも役立ちます。
さらに下には計算に使った数式が展開表示されます。
体積・面積・寸法の関係式に実際の数値を当てはめた形で表示されるため、計算の根拠をそのまま確認したり資料にコピーしたりできます。
リセットとクリア
リセット
入力欄が各モードの初期サンプル値（例えば R＝5 cm、h＝3 cm）に戻ります。
ツールの動作確認をしたいときや、どんな結果が出るか試したいときに便利です。
クリア
入力欄を完全に空にします。ゼロから数値を入れ直したいときに使ってください。
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